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Kovarianz verstehen und berechnen - mit Formel und Beispiel

Veröffentlicht am 28. Mai 2020 von Valerie Benning.

Die Kovarianz gibt dir Auskunft über den Zusammenhang von zwei metrischen Variablen.

Dabei ist es wichtig, zu beachten, dass die Kovarianz ein nichtstandardisiertes Zusammenhangsmaß ist und damit nur begrenzt vergleichbar.

Andere Bezeichnungen für die Kovarianz sind Stichprobenkovarianz oder empirische Kovarianz.

Die Berechnung der Kovarianz am Beispiel erklärt

Nehmen wir an, wir haben acht Personen nach der Entfernung zwischen ihrem Wohn- und Arbeitsort und der Dauer ihres Arbeitsweges gefragt und folgende Daten erhalten:

Person 1 2 3 4 5 6 7 8
Entfernung Wohnort und Arbeitsplatz in km 18 2 42 14 22 35 45 8
Dauer des Arbeitsweges in min 22 10 53 30 25 36 45 13

Nun möchten wir den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen bestimmen und berechnen dazu die Kovarianz.

Als Ergebnis erhalten wir eine Kovarianz von 222.93, was bedeutet, dass ein positiver Zusammenhang zwischen den beiden Variablen ‚Entfernung‘ und ‚Dauer‘ besteht.

Beachte
Die Kovarianz gibt uns primär Auskunft über die Richtung des Zusammenhangs. Wenn wir Aussagen über die Stärke des Zusammenhangs treffen und vergleichen wollen, dann müssen wir die Kovarianz zunächst in einen Korrelationskoeffizienten umwandeln.

Die Tabelle gibt dir einen Überblick über die einzelnen Schritte zur Berechnung der Kovarianz.

Schritt-für-Schritt-Erklärung zur Berechnung der Kovarianz

Allgemein Beispiel
1 Bestimme das arithmetische Mittel für jede der Variablen. 1. Entfernung Wohnort zum Arbeitsplatz (x)

    \begin{align*}\bar{x}&=\dfrac{18+2+42+14+22+35+45+8}{8}\\&=\dfrac{186}{8}=23.25\end{align*}

2. Dauer des Arbeitswegs (y)

    \begin{align*}\bar{y}&=\dfrac{22+10+53+30+25+36+45+13}{8}\\&=\dfrac{234}{8}=29.25\end{align*}
2 Berechne die Abweichungen der einzelnen Beobachtungsdaten vom arithmetischen Mittel, z. B. x_{i}-\bar{x} und y_{i}-\bar{y}.
Person x_{i}-\bar{x} y_{i}-\bar{y}
1 -5.25 -7.25
2 -21.25 -19.25
3 18.75 23.75
4 -9.25 0.75
5 -1.25 -4.25
6 11.75 6.75
7 21.75 15.75
8 -15.25 -16.25
3 Bilde das Produkt der Abweichungen.

Rechne also:
(x_{i}-\bar{x})\times (y_{i}-\bar{y})

 Wir multiplizieren das Ergebnis aus der mittleren Spalte aus Schritt 2 mit dem Ergebnis aus der rechten Spalte.

1 38.06 5 5.31
2 409.06 6 79.31
3 445.31 7 342.56
4 -6.94 8 247.81
4 Bilde die Summe aller Produkte aus Schritt 3. Wir addieren alle Ergebnisse aus Schritt 3:

38.06 + 409.06 + 445.31 + (-6.94) + 5.31 + 79.31 + 342.56 + 247.81 = 1560.48
5 Multipliziere das Ergebnis aus Schritt 4 mit \dfrac{1}{n-1}. Das Ergebnis ist die Kovarianz. 1\,560.48\times\dfrac{1}{n-1}=\dfrac{1\,560.48}{7}=222.93

Die Kovarianz beträgt 222.93.

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Formel zur Kovarianz

Die Formel stellt die oben erläuterten Schritte zur Berechnung der Kovarianz zusammengefasst dar.

s_{xy}=\dfrac{\sum^{n}_{i=1}{(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}}{n-1}
sxy Kovarianz der Variablen x und y
n Gesamtanzahl der Beobachtungen
xi Beobachtungswert der Variable x
x̄ arithmetisches Mittel der Variable x
yi Beobachtungswert der Variable y
y-bar-scribbr arithmetisches Mittel der Variable y

Interpretation der Kovarianz

Ein positiver Wert der Kovarianz sagt dir, dass wenn die eine Variable steigt, dies auch für die andere der Fall ist. Gleichermaßen zeigt ein negatives Vorzeichen, dass wenn die eine Variable steigt, die andere sinkt.

In dem Beispiel zur Entfernung zwischen Wohn- und Arbeitsort und zur Dauer des Arbeitsweges beträgt die Kovarianz 222.93.

Dieses Ergebnis zeigt uns, dass ein positiver Zusammenhang besteht. Wenn also die Variable ‚Entfernung‘ steigt, ist dies auch für die Variable ‚Dauer‘ der Fall.

Genauso bedeutet ein Anstieg der Variable ‚Dauer‘ ebenfalls einen Anstieg der Variable ‚Entfernung‘.

Von der Kovarianz zur Korrelation

Da die Kovarianz eine nichtstandardisierte Kennzahl ist, ist die Vergleichbarkeit gering. Um konkrete Schlüsse und Vergleiche zu ziehen, können wir die Kovarianz in einen Korrelationskoeffizienten umwandeln.

Dazu verwenden wir die folgende Formel:

r=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}
sxy Kovarianz der Variablen x und y
sx Standardabweichung der Variable x
sy Standardabweichung der Variable y
r Korrelationskoeffizient (nach Bravais)
Merke
Der Korrelationskoeffizient gibt die standardisierte Kovarianz an.

Beispielrechnung von der Kovarianz zur Korrelation

In unserem Beispiel haben wir eine Kovarianz von 222.93 berechnet und können außerdem über die Formel der Standardabweichung folgende Werte bestimmen:
sx = 15.86
sy = 14.95

Diese setzen wir in die Formel ein, um aus der Kovarianz den Korrelationskoeffizienten zu erhalten:

    \begin{equation*}r=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}=\dfrac{222.93}{15.86\times14.95}=0.94\end{equation*}

Die Korrelation zwischen den beiden Variablen ‚Entfernung‘ und ‚Dauer‘ beträgt 0.94. Da es sich bei der Korrelation um einen standardisierten Wert handelt, können wir nun unser Ergebnis mit anderen Korrelationen vergleichen.

Beachte
Eine Untersuchung, in der die Beziehung zwischen Variablen erforscht wird, wird Korrelationsstudie genannt.

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Kovarianz in Excel bestimmen

In Excel können wir die Kovarianz zweier Variablen mithilfe der Funktion KOVARIANZ bestimmen.

Schreibe dazu =KOVARIANZ oder =COVARIANCE und gib in den Klammern die Zellen mit den Werten an, für die du die Varianz bestimmen willst.

Da wir in unserem Beispiel die Kovarianz für die Variablen ‚Dauer‘ und ‚Entfernung‘ bestimmen wollen, fügen wir C3:J3;C4:J4 in den Klammern ein. Als Ergebnis wird uns die Kovarianz von 222.93 angezeigt.
korrelation-berechnen-excel-beispiel-scribbr

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Kovarianz?

Die Kovarianz gibt dir Auskunft über den Zusammenhang von zwei metrischen Variablen.

Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?

Die Kovarianz ist ein nichtstandardisiertes Zusammenhangsmaß und hat daher nur eine geringe Vergleichbarkeit. Wir können aus der Kovarianz die Korrelation bestimmen. Diese ist standardisiert und lässt daher eine höhere Vergleichbarkeit zu.

Wie berechne ich aus der Kovarianz die Korrelation?

Zur Berechnung der Korrelation aus der Kovarianz kannst du folgende Formel verwenden: korrelation-formel-scribbr.

Du teilst also die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen der einzelnen Variablen.

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Benning, V. (2020, 28. Mai). Kovarianz verstehen und berechnen - mit Formel und Beispiel. Scribbr. Abgerufen am 11. November 2024, von https://www.scribbr.ch/statistik-ch/kovarianz/

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Valerie Benning

Hi, ich bin Valerie und schreibe zur Zeit selbst meine Masterarbeit in Psychologie. Meine Erfahrungen aus dem Studium teile ich gerne, damit Studierenden statistische Themen leichter fallen.